Buon 2016!

2016

Ormai il nuovo anno è alle porte, e dobbiamo pensare ad un problemino che abbia nel testo il numero 2016. Io mi sono accorto che si può ottenere 2016 in parecchie maniere come differenza di due quadrati, ad esempio 452 – 32, 462 – 102, 502 – 222, 542 – 302, 652 – 472, 712 – 552, 792 – 652, 902 – 782. Qualcuno se la sente di motivare tutte queste combinazioni? Ma… è capitato solo quest’anno, o capita ogni anno, ma non ce ne siamo accorti?

Chi beve birra campa cent’anni

 

Beve birra

Quella citata nel titolo era una frase pubblicitaria in voga parecchio tempo fa. Ma… se fosse vero? Io sono nato nel 1958, e mi capita di bere birra, quindi dovrei vivere fino a 100 anni, che festeggerò nel 2058. Ripercorriamo la mia vita, iniziata dal 1958, che sarà il primo anno importante. Per trovare il secondo anno importante, basta sommare a 1958 un numero di anni uguale a una cifra delle sue cifre, quindi il secondo anno importante potrebbe essere uno dei seguenti: 1958+1=1959; 1958+5=1963; 1958+8=1966; 1958+9=1967. E da questi si ricava il terzo anno importante allo stesso modo, e così via. L’anno nel quale compirò 100 anni sarà un anno importante.

Quanti ce ne saranno stati nella mia vita, come minimo?

Le stesse cifre

Stesse cifre

Esistono alcune espressioni tali che il risultato che si ottiene eseguendo i calcoli è formato dalle stesse cifre utilizzate nell’espressione. Un esempio si può vedere nell’immagine, dove elevando 5 alla seconda si ottiene 25, per scrivere il quale dobbiamo nuovamente utilizzare un 5 e un 2, come nell’espressione di partenza.

Ci sono altri casi simili?

Il triangolo di Tartaglia umano

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Al liceo si studia il triangolo di Tartaglia: è un triangolo con dei numeri scritti nelle varie caselle, in modo che ogni numero presente è dato dalla somma dei due numeri della riga superiore che stanno uno alla sua destra e uno alla sua sinistra. Si comprende meglio da questo disegno, dove 6, ad esempio, deriva dalla somma 3+3.

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

Mi è piaciuta la foto che ho inserito: vi è raffigurata la festa patronale di Barcellona, con una piramide umana. Immaginiamo di volerne fare una simile nella mia città, Trieste, dove all’ultimo censimento la popolazione risultava essere di 202.563 unità. Se nel primo piano in alto c’è una persona, nel secondo una a sinistra e una a destra, nel terzo una a sinistra, due al centro e una a destra, e così via come nel triangolo di Tartaglia, di quanti piani al massimo si potrebbe costruire questa torre a Trieste?

Ammettiamo che i triestini siano forti abbastanza da poter sorreggere le persone che stanno sopra di loro…

I terreni quadrati

Terreni

Parafrasando un problema proposto sabato scorso alla Bocconi, alla finale nazionale di Giochi Matematici, propongo questo testo.

Ho tre terreni quadrati, con i lati che hanno un numero intero di metri. L’area totale dei quattro terreni è 450. Quali sono tutte le possibili combinazioni delle misure dei lati dei miei terreni?

Esistono dei valori diversi da 450, che permettono ancora più combinazioni possibili come misure dei lati dei tre terreni?

La scatola di cioccolatini

Cioccolatini

In questi giorni di festa e anche di mangiate, abbiamo aperto una scatola di cioccolatini. La scatola presentava dei divisori di plastica, in modo che ci stiano 4 file di 7 cioccolatini, per un totale di 28.
Dopo qualche minuto, ci siamo accorti che i cioccolatini rimasti erano in numero pari in ciascuna delle 4 righe e in ciascuna delle 7 colonne. Ad esempio, indicando con O il cioccolatino e con X lo spazio vuoto, due situazioni possibili potrebbero esser state le seguenti.

 OOOOOXO
 XOXOXOO
 XXXXXXX
 OXOXOOX

oppure

 OOOOOOX
 OOOOXXX
 OXXXXXO
 OXXXOOO

La domanda allora è la seguente: in quanti modi diversi (compresi i due citati come esempio) si potrebbe presentare la sistemazione delle X e delle O?

Seconda domanda: e se avessi voluto avere un numero dispari di O sia in ogni riga che in ogni colonna, quante combinazioni diverse potrei effettuare?

Quadrati magici

Quadrato magico

Sabato 29 dicembre parte su Rai 1 “Superbrain – Le Supermenti”, condotto da Paola Perego. Chi pensa di saper fare a mente delle cose eccezionali, può farsi avanti per partecipare al programma.
Ammettiamo che io voglia presentare ad esempio i quadrati magici, e dica di saper fare un quadrato magico all’istante, con totale di riga e colonna assegnato da una persona del pubblico… come si può preparare un gioco del genere, ammesso che ciò sia possibile per una persona dall’intelligenza normale?

Per fare un esempio, ti preparano uno schema di 7×7 = 49 caselle, e ti chiedono di scrivere dei numeri, tutti diversi fra loro, in modo che la somma dei punteggi di ogni riga e di ogni colonna faccia sempre… 203. Si può fare?

 

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La frutta

Presento un testo che si può risolvere… quasi a mente, da elementari, ma che mi incuriosisce per una particolarità che non dico. E sarà questo il problema per noi: qual è questa particolarità?

Intanto dico che il testo è preso dalle gare del Kangourou del 2004; l’ho lasciato inalterato.

Tre mele e due arance pesano complessivamente 255 grammi; due mele e tre arance pesano complessivamente 285 grammi. Le mele sono uguali fra loro e così pure le arance sono uguali fra loro. Quanto pesano complessivamente una mela e un’arancia?