…e i cocci sono suoi!

Cocci

Mi è capitato di leggere un problema adatto a studenti delle elementare, e il cui testo, con una piccola opportuna modifica, può avere diverse soluzioni. Più precisamente, mi sono accorto che sostituendo al posto degli asterischi diverse parole, ci sono tre soluzioni numeriche diverse.

Volete trovare il testo adatto e la conseguente risposta?

Ho sei ***** e ne spezzo uno/una. Quanti/quante ***** ho ora?

La cabina telefonica

IF

Piero Bartezzaghi è un nome conosciuto da tanti enigmisti, in quanto autore del “Bartezzaghi”, il mitico cruciverba di pagina 41 della “Settimana Enigmistica”.

Ma Zanzibar (questo è il nome con il quale Bartezzaghi è noto fra gli enigmisti) è autore di tanti altri giochi in versi, fra i quali mi piace ogni tanto rileggere un anagramma, dalla soluzione BACO + CANI + ELEFANTI = CABINA TELEFONICA.

Come si può notare, la parola (o frase, come in questo caso) “CABINA TELEFONICA” si può anagrammare e scomporre nei nomi dei tre animali citati.

Qualcuno riesce a trovare un’altra parola le cui lettere con un anagramma danno due (o tre) nomi di animali???

Nota: invece che parola, si può usare una frase, ma deve essere una frase di senso compiuto, che si usa così. In effetti CABINA TELEFONICA è un concetto unico (anche se oggigiorno un po’ obsoleto), non lo sarebbe LENZUOLO VERDE.

Gauss rivisitato

Gauss

Il piccolo Carl Friedrich Gauss (poi diventato fisico, matematico e astronomo, ricordato nei 10 marchi tedeschi), ancora scolaretto delle elementari, scoprì una regola che era già nota nel mondo matematico, ma che tutti ora associano al suo nome.

Se dovessi sommare tanti numeri consecutivi a partire da 1 fino… ad esempio a 20, mi basta prendere l’ultimo numero (in questo caso 20), moltiplicarlo per il successivo (in questo caso 21), e fare la metà del prodotto ottenuto.

Nel nostro caso, 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 = 20×21:2 = 10×21 = 210.

Una volta conosciuta questa regola, se ne possono trovare delle altre. Ad esempio c’è un metodo molto sbrigativo per scrivere la somma di tutti i numeri da 1 fino ad una potenza di 10, come 1000 o 10.000 o 100.000…

Come si fa?

Il numero a pezzettoni

Numero a pezzettoni

Ho scoperto che esiste un numero di 4 cifre che non è quadrato perfetto, ma dividendolo a pezzi si può ottenere una serie di quadrati perfetti, scritti uno dietro l’altro, come capita pure al numero 3610, che si può spezzettare in 36 – 1 – 0 , cioè in tre quadrati perfetti scritti uno dopo l’altro.
Però – sorpresa sorpresa – il numero pensato da me si può spezzettare in tre maniere diverse, e ogni volta si ottengono dei quadrati perfetti.
Qual è il mio numero? Ce n’è forse più di uno?

Il labirinto

Labirinto

Andrea Latorre, un giovanissimo concorrente, in gennaio è stato il campione di SuperBrain, un programma di Rai 1, condotto da Paola Perego.
Nella sua prima prova Andrea ha ricordato esattamente in che posizione erano i maschi e le femmine fra 100 comparse che si erano disposti alla rinfusa, e che lui aveva memorizzato in poco più di un minuto.
Nella seconda prova il ragazzo dodicenne ha memorizzato per un minuto un labirinto nel quale la strada d’uscita era costellata da 30 svolte, per poi indicare, bendato, se ad ogni incrocio si doveva svoltare a destra o a sinistra.
Complimenti al ragazzo, ma… a me viene voglia come sempre di cercare di capire come può aver fatto a risolvere un problema apparentemente così ingarbugliato.
Penso che si possa immaginare come ha fatto. Avete qualche idea?

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Il boccale di birra

Birra

In un boccale di birra ci sono 100 millimetri di birra, e facciamo una gara in due: ognuno può bere come minimo un millimetro di birra al suo turno. Perde chi al suo turno non trova neppure una goccia di birra.
Come massimo di birra che ciascuno può bere al suo turno, propongo due varianti:
1) Al massimo si possono bere 10 millimetri di birra (e questo problema è già conosciuto).
2) Al massimo si possono bere tanti millimetri di birra, quante le lettere che compongono la parola che indica i millimetri rimasti (se ci sono 32 millimetri, siccome “trentadue” è formata da nove lettere, si possono bere al massimo nove millimetri).
Come deve agire chi beve per primo, se entrambi giochiamo nel modo migliore?

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Quanti scacchi?

Scacchijpg

Prendiamo una scacchiera standard, di dimensione 8×8.
Quante regine si possono disporre al massimo, in modo che nessuna di esse ne minacci un’altra?
Quanti re si possono disporre al massimo, in modo che nessuno di essi ne minacci un altro?
Quante torri si possono disporre al massimo, in modo che nessuna di esse ne minacci un’altra?
Quanti cavalli si possono disporre al massimo, in modo che nessuno di essi ne minacci un altro?
Quanti alfieri si possono disporre al massimo, in modo che nessuno di essi ne minacci un altro?
La prima domanda è un problema classico, che forse qualcuno può aver già sentito; le altre le ho aggiunte io, ma forse non sono originali. Ma una volta risolti questi problemi, ci si può porre altre domande ancora… quali?

Il numero autoreferente

Questo è un problema conosciuto a qualche appassionato di giochi matematici, ma mi permetto di presentarlo, in quanto ho cercato di ingrandire il problema. Alcuni dei problemi non hanno soluzione, e altri sì. A parte la soluzione, penso sia interessante il procedimento seguito per trovarla.

Devo scrivere un numero di 10 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla decima cifra, che indica il numero di 9 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 9 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla nona cifra, che indica il numero di 8 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 8 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino all’ottava cifra, che indica il numero di 7 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 7 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla settima cifra, che indica il numero di 6 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 6 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla sesta cifra, che indica il numero di 5 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 5 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla quinta cifra, che indica il numero di 4 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 4 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e la quarta cifra il numero di 3 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 3 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, e la terza cifra il numero di 2 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 2 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero e la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 1 cifra, in modo che questa cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero. E’ possibile farlo?

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Un pagamento complicato

Monete

Devo pagare esattamente 5 euro, utilizzando monete da 2 euro, da 1 euro, da 50 centesimi, da 20 centesimi, e da 10 centesimi. Per esempio potrei utilizzare una moneta da 2, quattro da 0,50 e cinque da 0,20. Ma ci sono tanti altri modi per farlo. In quanti modi in tutto potrei pagare?

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Destra o sinistra?

Duemiladodici militari sono allineati, uno di fianco all’altro, e guardano verso il comandante, che sta di fronte a loro. Ad un certo punto viene dato l’ordine “front a destr”, e tutti devono girarsi di 90° a destra. Purtroppo nessuno sa quale sia la destra e quale la sinistra, ma ritengono tutti che gli altri lo sappiano. Quindi si girano da una parte qualunque, e impiegano un secondo per farlo. Se qualcuno di loro però dopo questa mossa vede di faccia un suo compagno, ritiene di aver sbagliato, e dopo un secondo si gira di nuovo. Può darsi che ancora qualche coppia di militari si veda di faccia, ed entrambi nuovamente, pensando di essere nel torto, si girano, dopo un altro secondo. Dopo quanto tempo al massimo staranno tutti fermi?

[expand title=”Come arrivare alla soluzione:“]

Userò per i soldati che guardano a destra o sinistra rispettivamente i simboli “>” o “<“.

Per paura di perdermi con numeri troppo alti e casi che non riesco a seguire, provo ad usare il metodo che porta il nome di un grande matematico nostro contemporaneo.

Ebbene, il metodo Dendi mi consiglia di studiare il caso banale, con 2 soldati. Delle 4 possibili posizioni dopo un secondo, mi sembra utile solo ><, che porta a due secondi il tempo finale.

Analizziamo, come consiglia il metodo Dendi, il caso di tre soldati. Delle 2^3=8 possibili posizioni dopo un secondo, mi interessano solo >>< e ><<, che portano a tre secondi il tempo finale.

Se lo ritengo opportuno, faccio il caso con 4 soldati, tenendo presente che se tre consecutivi non si sistemano come visto sopra, non otterrò la soluzione migliore.

A questo punto posso dire che per n=0, 1, 2, 3… soldati, ci vorranno n secondi al massimo per ottenere la stabilità della posizione.

© Giorgio Dendi – Servizi all’umanità

[/expand]

[expand title=”Un’altra strada:“]

Non è chiaro? Vediamo un’altra strada per arrivare alla soluzione, partendo direttamente con 2012 soldati:

Potrebbe succedere che, per coincidenza, tutti i soldati si girino dallo stesso lato. Ciascuno vede l’altro di spalle (oppure nessuno, se è un soldato all’estremità) e dopo 1 secondo sono tutti fermi:

<<<<<…<<< oppure >>>>…>>>>

Se un soldato di estremità si gira per guardare il vuoto e tutti gli altri soldati sono girati allo stesso modo fra loro, anche in questo caso il movimento si ferma dopo un secondo.

>>>>>…>>>>> oppure <<<<<<…<<<> (soluzioni simmetriche)

Poniamo adesso che ci sia 1 solo soldato girato diversamente da tutti gli altri. Se questo soldato è in posizione n.1, avrà davanti a sé tutti i soldati che lo guardano. Lui a quel punto si girerà, ed essendo in estremità continuerà a fissare il vuoto. Contemporaneamente il soldato n.2 vedendolo si girerà, e si troverà di fronte al soldato n.3, il quale si girerà, e così via finché non saranno tutti girati.

Il gruppo “><” diventa sempre un gruppo “<>” in 1 secondo

><<<<<<….<<<<   1s
<><<<<<….<<<<   2s
<<><<<<….<<<<   3s
….
<<<<<<<….<<<>   2012s

Quindi se il soldato è in posizione 1 e guarda tutti gli altri, in sequenza inizierà un processo di “aggiustamento” e tutti saranno fermi dopo 2012 secondi. Questo è il caso peggiore di tutti: i soldati non possono impiegare più tempo di così.

© Paolo Pizzorni

[/expand]

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