Buon 2016!

2016

Ormai il nuovo anno è alle porte, e dobbiamo pensare ad un problemino che abbia nel testo il numero 2016. Io mi sono accorto che si può ottenere 2016 in parecchie maniere come differenza di due quadrati, ad esempio 452 – 32, 462 – 102, 502 – 222, 542 – 302, 652 – 472, 712 – 552, 792 – 652, 902 – 782. Qualcuno se la sente di motivare tutte queste combinazioni? Ma… è capitato solo quest’anno, o capita ogni anno, ma non ce ne siamo accorti?

3 pensieri su “Buon 2016!

  1. Accidenti, non ce ne eravamo accorti, ma per fortuna l’anno non è ancora finito, e siamo ancora in tempo per dire:
    48^2-17^2=2015
    84^2-71^2=2015
    204^2-199^2=2015
    per trovarti ho usato un po’ di ragionamento e un po’ di brute force:
    cerco la coppia di numeri (a, b) tali che
    a^2-b^2=2015
    ossia
    b=radq(a^2-2015)

    in un foglio di calcolo metto in prima colonna a (numi interi crescenti, a partire da radq(2015) approssimata per eccesso), e in scoda colonna b (la formuletta)
    quando per b trovo un numero intero: voila!
    mi fermo quando la differenza tra le due colonne diventa minore di 1

    lo stesso giochetto (mutate le mutande) si può fare per qualsiasi anno
    per esempio si può vedere che per il 2016, oltre a quelle già citate, ci sono anche le coppie
    (130, 122), (171, 165), e (254, 250)

    s e o o

  2. ah, i numeri composti…

    2016=a^2-b^2=(a-b)(a+b)

    quindi abbiamo grossomodo una soluzione per ogni scomposizione di 2016 in due fattori con la stessa parità (perché siano interi)!

    2016=2^5 * 3^2 * 7

    Vogliamo x,y di stessa parità tali che 2016=xy

    Per via della stessa parità, ci deve essere un fattore 2 sia in x che in y.

    x=2x’ y=2y’

    x’,y’ tali che 2016=4x’y’ -> 504=x’y’

    Abbiamo 24 divisori di 504, per un totale di 12 coppie-soluzione alla nostra equazione originale 2016=a^2-b^2 !

    Se l’anno è altamente composto, ci sono tante soluzioni, nel 2017 sarà più dura con l’unica soluzione 2017=1009^2-1008^2.

    Dalla fattorizzazione di 2016 troviamo anche facilmente che:
    2016=36^2+24^2+12^2
    Non è utile ma è simpatico.

  3. Dunque… in breve, la mia risposta è: tutti gli anni dispari+quelli divisibili per 4 è possibile scriverli in questo modo in almeno un modo (scusate l’anacoluto).
    Essenzialmente, si tratta di scrivere l’anno a come somma di m numeri dispari consecutivi (centrati intorno ad un valore n) – infatti la differenza tra due quadrati consecutivi sono tutti i numeri dispari; i tre numeri a,m,n devono avere la stessa parità ed m*n=a (ed ovviamente m<n, perchè vogliamo che i quadrati perfetti siano positivi…). Quindi si tratta di scomporre a in fattori primi, se pari mettere un 2 per parte in m ed n, e poi distribuire gli altri fattori fra m ed n in tutti i modi possibili. i due quadrati saranno (n-m)/2 e ((n+m)/2

    p. es. anno 8: 8=2^3. Iniziamo da m=2*? ed n=2*?. Ci resta ancora un solo fattore 2, che possiamo mettere in m o n. Però vogliamo m<n quindi scartiamo il primo. quindi abbiamo m=2 numeri dispari centrati in 4, che saranno 3 e 5. 3=2^2-1^2 e 5=3^2-2^2 quindi 8=5+3=3^2-1^2=9-1 ed è l'unico modo per farlo

    anno 15: 15=3*5. Possiamo fare m=1 e n=15 o m=3 e n=5. Il primo ci dà 8^2-7^2=64-49=15, il secondo 4^2-1^2=16-1=15

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